[试卷]2024-尊龙凯时人生就博

中小学教育资源及组卷应用平台 2024-2025学年高三数学上学期一轮复习专题：导数及其应用 一、单选题 1．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） a． b． c． d． 2．已知函数是定义在上的奇函数且在上可导，若恒成立，则（ ） a． b．0 c．1 d．2 3．若函数恰好有四个零点，则实数的取值范围是（ ） a． b． c． d． 4．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为（ ） a． b． c． d． 5．已知，且时，，若，若是常函数，则方程在区间内根的个数为（ ） a．1 b．2 c．3 d．0 6．已知，函数的零点个数为，过点与曲线相切的直线的条数为，则的值分别为（ ） a． b． c． d． 7．已知函数在点处的切线均经过坐标原点，其中，，则（ ） a． b． c． d． 8．已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（ ） a．14 b．16 c．21 d．23 二、多选题 9．已知函数及其导函数的定义域均为，且，的图象关于点对称，则（ ） a． b．为偶函数 c．的图象关于点对称 d． 10．已知函数及其导函数的定义域均为，若函数为奇函数，函数为偶函数，，则（ ） a． b． c． d． 11．已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（ ） a． b． c． d． 三、填空题 12．已知函数（）仅有一个零点，则实数a的值为 . 13．若平面直角坐标系内两点满足: （1）点都在的图象上; （2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“姊妹点对”，且点对与记为一个“姊妹点对”. 已知函数，则的“姊妹点对”有 个. 14．已知定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为 . 四、解答题 15．已知函数，记是的导函数. (1)求的值； (2)求函数的单调区间； (3)证明：当时，. 16．已知函数，的图像在处的切线过原点． (1)求的值； (2)设，，其中，若对，总，使成立，求整数的取值范围． 17．记函数. (1)证明：； (2)记的定义域为．若任意，求的取值范围． 18．已知． (1)若，证明：在上单调递增； (2)若， ①证明：存在唯一的实数，对成立； ②记①中，证明：当时，． 19．英国数学家泰勒发现了如下公式：，以上公式成为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合所学的数学知识，解决如下问题． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 参考答案： 1．b 【分析】根据基本初等函数的单调性判断a、b、d，利用导数判断c选项的单调性. 【详解】对于a：在定义域上单调递增，故a错误； 对于b：在定义域上单调递减，故b正确； 对于c：，则， 当时，所以在上单调递增，故c错误； 对于d：在定义域上单调递增，故d错误. 故选：b 2．d 【分析】借助复合函数的导数计算与函数奇偶性的性质可得函数的周期性，结合赋值法计算即可得解. 【详解】由，则， 即， 由函数为奇函数，故， 则， 则， 即， 即，故为周期为的周期数列， 故， 对，令，有，即， 故. 故选：d. 3．c 【分析】由题意转化为与和共有两个交点，利用导数研究单调性极值，数形结合得解. 【详解】因为，所以不是的零点， 当时，令，得， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，， 且当趋近正无穷时，趋近2，如图所示， 所以当时，与的图象有且仅有四个交点， 此时函数恰好有四个零点. 故选：c. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （ ... ...