[试卷]实战演练02 三次函数的图像与性质(4大常考点归纳)-尊龙凯时人生就博

实战演练 02 三次函数的图像与性质 ①三次函数的零点 ②三次函数的极值、极值点 ③三次函数的切线 ④三次函数的对称性 一、三次函数概念 定义：形如 ( ) = 3 2 ( ≠ 0)叫做三次函敞 ′( ) = 3 2 2 ，把 = 4 2 12 叫做三次函数导函数的判别式 当 > 0时，令 ′( ) = 0，记两根为 = 2 3 = 2 3 1 3 ， 2 3 二、三次函数的图像及单调性 注：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！ 系数关系式 ( )的图像 ′( )的图像 ( )的性质 ′( ) ≥ 0恒成立 > 0 ≤ 0 > 0 2 ≤ 3 ( )在r上递增 ( )无极值点 ′( ) ≤ 0恒成立 < 0 < 0 ≤ 0 2 ≤ 3 ( )在r上递减 ( )无极值 增区间 ∞， 1 ， 2， ∞ > 0 > 0 减区间 ， 1 2 > 0 2 > 3 ( )有两个极值点 极大值 ( 1)，极小值 ( 2) 增区间 1， 2 < 0 < 0 减区间 ∞， 1 ， 2， ∞ > 0 2 > 3 ( )有两个极值点 极大值 ( 2)，极小值 ( 1) 三、三次函数的零点个数 若三次函数 ( ) = 3 2 ( ≠ 0)存在极值时，其图像、零点、极值的关系如下： 三次函数图像 性质 说明 ＞0 ＜0 2 3 > 0 三 ( 1) ( 2) < 0 个 两个极值异与 图像与 轴有三个交点 2 3 > 0 零 ( 1) ( 2) = 0 点 两 有一个极值为 0 个 个 图像与 轴有两个交点 数 存在极值时 2 3 > 0 一 ( 1) ( 2) > 0 个 不存在极值时， 函数单调，与 轴有一个交点 四、三次函数的韦达定理 设 ( ) = 3 2 ( ≠ 0)的三个零点分别为 1， 2， 3，则 (1) 1 2 3 = (2) 1 2 2 3 3 1 = (3) 1 2 3 = 1 1 1 (4) 1 = 2 3 五、三次函数的对称性 结论 1 三次函数 ( ) = 3 2 ( ≠ 0) 的图象关于点 ， 中心对称3 3 结论2 已知三次函数 ( ) = 3 2 ( ≠ 0)中心对称点的横坐标为 0，两个极值点分别为 1， 2， ( 1) ( 2) 则 = 2 ′ 3 ( 0) = 2( 2 1 2) 1 2 结论 3 若 = ( )图像关于点 ， 对称，则 = ′( )图像关于轴 = 对称 点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数 ①三次函数的零点 一、单选题 1 3．（2024·陕西西安·模拟预测）若函数 f x = x - 3x a在区间 0,2 内有两个零点，则实数 a的取值范围 是（ ） a． 0,2 b． 2, c． 0,1 d． 1, 2．（2024·湖南长沙·一模）函数 f x = ax3 - ax2 bx a,b r 有 3 个零点的充分不必要条件是（ ） a． a 0，且 a > 4b b． a > 0，且 a < 4b c． a<0，且 a > 4b,b 0 d． a<0，且 a < 4b,b 0 3．（2024·宁夏银川·三模）已知函数 f x = x3 - 7x2 14x - a有 3 个零点x1，x2， x3 x1 < x2 < x3 ，有以下 四种说法： ① x1 > 0 ② x3 < 4 ③存在实数 a，使得x1，x2， x3 成等差数列 ④存在实数 a，使得x1，x2， x3 成等比数列 则其中正确的说法有（ ）种. a．1 b．2 c．3 d．4 4．（23-24 高三上·云南·阶段练习）关于函数 f (x) = 4x3 - 3x - a ，则下列说法正确的是（ ） a．函数在 (-1,1)上单调递减 b．当 a > 0时，函数 f (x) < 0在 0,1 上恒成立 c．当 a > 1或 a < -1时，函数 f (x) 有 2 个零点 a 1d．当 = 时，函数 f (x) 有 3 个零点，记为 x1, x2 , x2 3 ，则 x1 x2 x3 = 0 二、多选题 5．（23-24 · · f x = ax3 bx2高三上 安徽 阶段练习）已知三次函数 c(a > 0,b,c r)，下列结论正确的是 （ ） 2 a．当 a = b = 2时， f (x) 单调递减区间为 - ,0÷ è 3 b a b 2 ．当 = = 2时， f (x) 单调递增区间为 - ,03 ÷è c b．当 c = -4a时，若函数 f (x) 恰有两个不同的零点，则 = 3a 1 d．当b = c = 0 时， f (x) > ln x恒成立，则 a 的取值范围为 , 3e ÷è 6 1．（23-24 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知三次函数 f x = ax3 x2 cx 有三个不同 ... ...