实战演练 05 导数中构造函数的妙用 ①构造函数比较大小 ②构造函数解不等式 ③构造函数求最值（范围） ④构造函数证明不等式 一、同构构造函数或者利用作差或作商法构造函数 1.同构是构造函数的一种常用方法.常利用 = ln e ( ∈ r), = eln ( > 0)将要比较的三个数化为结构相同 的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小. 2.对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量 间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用 同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(h(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为 比较自变量g(x)与h(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。 3.常见的构造函数有 （1）与 ex 和 ln x 相关的常见同构模型 ① aea b ln b ea ln ea b ln b，构造函数 f x = x ln x或 g x = xex ； ea b ea b x ex② < a < ，构造函数 f x = 或 g x = ；a ln b ln e ln b ln x x ③ ea ± a > b ± ln b ea ± ln ea > b ± ln b，构造函数 f x = x ± ln x或 g x = ex ± x . 二、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为 f ég x ù > f éh x ù ； （2）判断函数 f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ f ”脱掉，得到具体的不等式 （组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、构造函数解不等式解题技巧 求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形 模型 1.对于 f (x) > g (x)，构造 h(x) = f (x) g(x) 模型 2.对于不等式 f ' x > k k 0 ，构造函数 g x = f x kx b . 模型 3.对于不等式 f ' x f x > 0 ，构造函数 g x = ex f (x) 拓展：对于不等式 f ' x kf x > 0 ，构造函数 g x = ekx f (x) f (x) 模型 4.对于不等式 f ' x f x > 0 ，构造函数 g x = ex 模型 5.对于不等式 xf ' x f x > 0，构造函数 g x = xf x 拓展：对于不等式 xf ' x nf x > 0，构造函数 g x = xn f (x) 模型 6.对于不等式 xf ' x f g x f x x > 0，构造函数 = x 0 x f (x) 拓展：对于不等式 xf ' x nf x > 0 ，构造函数 g x = xn f (x) 模型 7.对于 > 0，分类讨论：（1）若 f (x) > 0 ，则构造 h(x) = ln f (x); f (x) （2）若 f (x) < 0，则构造 h(x) = ln[ f (x)] 模型 8.对于 f (x) ln af (x) > 0(< 0)，构造 h(x) = a x f (x) . 模型 9.对于 f (x) ln x f (x) > 0(< 0)，构造 h(x) = f (x) ln x . x 模型 10.（1）对于 f (x) > f (x) tan x(或f (x) < f (x) tan x) ，即 f (x) cos x f (x)sin x > 0(< 0) ， 构造 h(x) = f (x) cos x ． f (x) （2）对于 f (x) cos x f (x)sin x > 0(< 0) ，构造 h(x) = ．cos x f (x)sin x f (x) cos x = [ f (x)sin x] f (x)sin x f (x) cos x f (x)模型 11.（1） （2） sin2 = [ ] x sin x ①构造函数比较大小 一、单选题 ln 3 1 ln 2 1．（23-24 高二下·广东佛山·阶段练习）若 a = , b = ,c = 则（ ） 3 e 2 a． c < b < a b．b
0解得0 < x < e；令 f x < 0，解得 x>e； 可得 f x 在 0,e 上单调递增，在[e, )上单调递减， qc ln 2 ln 4 1 ln e= = ，b = = ，且 e < 3 < 4， 2 4 e e \ f e > f 3 > f 4 c ln 4 ln 3，即 = < = a ln e< = ... ...