实战演练 03 导数中最常考的切线问题 ①求在曲线上一点的切线方程 ②求过某一点的切线方程 ③有一个切点的公切线 ④有两个切点的公切线 ⑤公切线的条数问题 一、在点的切线方程 切线方程 y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )的计算：函数 y f (x) 在点 a(x0 ，f (x0 )) 处的切线方程为 y f (x ) y f (x0 ) f (x0 )(x x ) 0 0 0 ，抓住关键 ． k f (x0 ) 二、过点的切线方程 设切点为 p(x0 ，y0 )，则斜率 k f (x0 )，过切点的切线方程为： y y0 f (x0 )(x x0 )， 又因为切线方程过点 a(m，n)，所以 n y0 f (x0 )(m x0 ) 然后解出 x0 的值．（ x0 有几个值，就有几条切线） 三、公切线问题一般思路 两个曲线的公切线问题，主要考查利用导数的几何意义进行解决，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡. 主要应用在求公切线方程，切线有关的参数，以及与函数的其他性质联系到一起.处理与切线有关的参数， 通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数： ①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 考法 1：求公切线方程 已知其中一曲线上的切点，利用导数几何意义求切线斜率，进而求出另一曲线上的切点；不知切点坐标， 则应假设两切点坐标，通过建立切点坐标间的关系式，解方程. 具体做法为：设公切线在 y＝f(x)上的切点 p1(x1，f(x1))，在 y＝g(x)上的切点 p2(x2，g(x2))， 则 f′(x1)＝g′(x2)＝ . 考法 2：由公切线求参数的值或范围问题 由公切线求参数的值或范围问题，其关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程． ①求在曲线上一点的切线方程 一、填空题 2x 3 1．（2024·山西·模拟预测）函数 f x 的图象在点 1, f 1 处的切线方程为 . x 1 2．（2024· x河北承德·二模）函数 f x 2 x在 x 0处的切线的斜率为 . 3．（23-24 高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知函数 f x aex x，若曲线 y f x 在点 1, f 1 处的切线与 直线 1 2e x y 1 0平行，则实数a ． 2 π 4．（2024· x湖北武汉·模拟预测）已知曲线 f x ln x 在点 1, f 1 处的切线的倾斜角为 ,则 a的值 a 3 为 . 5．（23-24 高三上·安徽亳州·期末）已知直线 l的斜率为 2，且与曲线 y 2ex 相切，则 l的方程为 . 6．（23-24 高三上·西藏林芝·期末）若函数 f x ln ax 1 的图象在 x 0处的切线斜率为 1，则 a ． 7．（2024·河北·模拟预测）已知函数 f x ax 1 ln x b在 x 1处的切线方程为 y ax 1，则 a b . 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数 f (x) ln x ax2 (a > 0)，若曲线 y f (x) 的所有切线中斜率最小的切线 方程为 4x 2y b 0，则 ab ． ②求过某一点的切线方程 一、填空题 1．（2024 高三·全国·专题练习）过点 0, 2 作曲线 f x ln x 2的切线，则切线方程为 . 2．（23-24 2 x高三上·山东青岛·期中）曲线 f x e 过原点的切线方程为 . 3．（2024·四川自贡·一模）若曲线 y lnx的一条切线为 y ex b ，则b . 4．（2024 高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系 xoy 中，点a 在曲线 y lnx上，且该曲线在点a 处的切 线经过点 e, 1 （ e为自然对数的底数），则点a 的坐标是 ，切线方程为 5．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点 1, a 仅可作曲线 y xex 的两条切线，则 a的取值范围是 . ③有一个切点的公切线 一、单选题 lnx 1 x a．（23-24 高二下·安徽合肥·期末）若函数 f x 与 g x e b在 x 1处有相同的切线，则 a b x （ ） a． 1 b．0 c．1 d．2 2 x．（23-24 高二下·广东深圳·期中）已知函数 f x e ln x与偶函数 g x 在交点 1, g 1 处的切线相同，则 函数 g x 在 x= 1处的切线方程为（ ） a． ex y e 0 b． ex y e 0 c． ex- y -e = 0 d． ex y e 0 二、填空题 3．（2024·上海·三模）设曲线 f x ae ... ...
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