[试卷]实战演练04 高中常见的恒(能)成立问题(4大常考点归纳)-尊龙凯时人生就博

实战演练 04 高中常见的恒（能）成立问题 ①一元二次不等式中的恒（能）成立问题 ②基本不等式中的恒（能）成立问题 ③函数中的恒（能）成立问题 ④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题 一、恒成立和有解问题思路一览 设函数 f (x) 的值域为 (a,b)或[a,b]，或 (a,b]或[a,b) 中之一种，则 ①若l f (x) 恒成立（即l < f (x) 无解），则l [ f (x)]max ； ②若l f (x) 恒成立（即l > f (x)无解），则l [ f (x)]min ； ③若l f (x) 有解（即存在 x 使得l f (x) 成立），则l [ f (x)]min ； ④若l f (x) 有解（即存在 x 使得l f (x) 成立），则l [ f (x)]max ； ⑤若l = f (x)有解（即l f (x)无解），则l {y | y = f (x)}； ⑥若l = f (x)无解（即l f (x)有解），则l cu{y | y = f (x)}． 【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法． （2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值 的取舍） 二、分离参数的方法 g(x) ①常规法分离参数：如l f (x) = g(x) l = ； f (x) 1 f (x) ②倒数法分离参数：如l f (x) = g(x) = ； l g(x) 【当 f (x) 的值有可能取到，而 g(x) 的值一定不为 0 时，可用倒数法分离参数．】 ì l f (x) , g(x) > 0 g(x) ③讨论法分离参数：如: lg(x) f (x) í l f (x) , g(x) < 0 g(x) ìl f (n), n为正偶数 (-1)n l f (n)(n n *) í -l f (n), n为正奇数 ④ l 2整体法分离参数：如 l = f (x)； b ⑤不完全分离参数法：如 = ln x x - x2 ； x ⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数． 【注意】 （1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数 或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法． （2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，再 分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】 三、其他恒成立类型一 ① f (x) 在[a,b]上是增函数，则 f '(x) 0恒成立．(等号不能漏掉)． ② f (x) 在 [a,b]上是减函数，则 f '(x) 0恒成立．(等号不能漏掉)． ③ f (x) 在[a,b]上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法) 四、其他恒成立类型二 ① "x1 a,$x2 b，使得方程 g(x2 ) = f (x1)成立 {y | y = f (x), x a} {y | y = g(x), x b}． ② $x1 a,$x2 b ，使得方程 g(x2 ) = f (x1)成 {y | y = f (x), x a} {y | y = g(x), x b} ． 五、其他恒成立类型三 ① "x1 a,"x2 b ， f (x1) g(x2 ) f (x1)min g(x2 )max ； ② "x1 a,$x2 b， f (x1) g(x2 ) f (x1)min g(x2 )min ； ③ $x1 a,"x2 b， f (x1) g(x2 ) f (x1)max g(x2 )max ； ④ $x1 a,$x2 b ， f (x1) g(x2 ) f (x1)max g(x2 )min ． ①一元二次不等式中的恒（能）成立问题 一、单选题 1．（2024 高三·全国·专题练习）对于任意实数 x，不等式 (a - 2)x2 - 2(a - 2)x - 4 < 0 恒成立，则实数 a 取值 范围（ ） a． (- ,2) b． (- , 2] c． (-2,2) d． (-2,2] 【答案】d 【分析】分类讨论，利用判别式小于 0，即可得到结论 【详解】当a - 2 = 0，即 a = 2时，-4<0 ，恒成立； ìa - 2 < 0 当 a - 2 0 时， í -2 < a < 2 4(a - 2) 2 16(a ，解之得 ， - 2) < 0 综上可得-2 < a 2 故选：d 2．（23-24 高三上·青海西宁·阶段练习）若关于 x 的不等式 x2 - 2ax - 3 < 0对任意 x [0, 2]均成立，则实数 a 的取值范围为（ ） a． - , 1 1 - ÷ b． - ,0 1 1 ÷ c． 0, ÷ d． , è 4 è 4 è 4 è 4 ÷ 【答案】d 【分析】当 x = 0时显然恒成立，当 x 0,2 时参变分离可得 2a > x 3- 恒成立，令 f x 3= x - ， x 0,2 ， x x 根据单调性求出 f ... ...