专题 20 创新定义题型 命题解读 考向 考查统计 1.高考对创新定义的考查，是新高考改 解析几何创新问题 2024·新高考ⅰ卷，11 革出现的题型，一般难度较大。2024 年 九省联考出现了概率的新定义问题，而 数列新定义 2024·新高考ⅰ卷，19 2025 年新高考中出现了解析几何、数列 的新定义问题。 命题分析 2024 年高考新高考ⅰ卷 11 题考查了解析几何的创新题型，主要是曲线方程的求法及性质。ⅱ卷虽然未考 查新定义类型，但是压轴题将数列与双曲线相结合，也是一次独特的创新。新定义题型的特点是：通过给 出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基 础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移达到灵活解题的目的;遇到新定义问 题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义照章办事”逐条分析、验证、运算，使 问题得以解决，难度较难，需重点特训。预计 2025 年高考还是主要考查数列、函数的新定义问题。 试题精讲 一、多选题 1．（2024 新高考ⅰ卷·11）造型 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 c 的一部分.已知 c 过坐标原点 o.且 c 上的点满足横坐标大于-2，到点f (2,0)的距离与到定直线 x = a(a < 0) 的距离之积为 4，则（ ） a． a = -2 b．点 (2 2,0)在 c 上 4 c．c 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1 d．当点 x0 , y0 在 c 上时， y0 x0 2 【答案】abd 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 a，故可判断 a 的正误，结合曲线方程可判断 b 的正误，利 用特例法可判断 c 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断 d 的正误. 2 【详解】对于 a：设曲线上的动点 p x, y ，则 x > -2 且 x - 2 y2 x - a = 4， 因为曲线过坐标原点，故 0 - 2 2 02 0 - a = 4，解得 a = -2 ，故 a 正确. 对于 b 2：又曲线方程为 x - 2 y2 x 2 = 4 ，而 x > -2 ， 故 x - 2 2 y2 x 2 = 4 . 2 当 x = 2 2, y = 0时， 2 2 - 2 2 2 2 = 8 - 4 = 4， 故 2 2,0 在曲线上，故 b 正确. 2 16 对于 c：由曲线的方程可得 y = 2 - x - 2 2 3 x 2 ，取 x = ，2 y2 64 1 64 1 64 5 256 - 245则 = - ，而 - -1 = - = > 0，故此时 y2 >1， 49 4 49 4 49 4 49 4 故c 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于 1，故 c 错误. 2 16 2 16 对于 d：当点 x0 , y0 在曲线上时，由 c 的分析可得 y0 = - x 2 0 - 2 x0 2 x 2 2 ， 0 4 y 4故- x0 2 0 x0 2 ，故 d 正确. 故选：abd. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等 来处理. 二、解答题 2．（2024 新高考ⅰ卷·19）设 m 为正整数，数列 a1,a2 ,...,a4m 2 是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 ai 和 a j i < j 后剩余的 4m 项可被平均分为m 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列 a1,a2 ,...,a4m 2 是 i, j -可分数列． (1)写出所有的 i, j ，1 i < j 6，使数列 a1,a2 ,...,a6 是 i, j -可分数列； (2)当m 3时，证明：数列 a1,a2 ,...,a4m 2 是 2,13 -可分数列； (3)从1,2,..., 4m 2 中一次任取两个数 i和 j i < j ，记数列 a1,a2 ,...,a4m 2 是 i, j -可分数列的概率为pm ，证明： p 1m > ．8 【答案】(1) 1,2 , 1,6 , 5,6 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据 i, j -可分数列的定义即可； （2）根据 i, j -可分数列的定义即可验证结论； （3 2）证明使得原数列是 i, j -可分数列的 i, j 至少有 m 1 - m 个，再使用概率的定义. 【详解】（1）首先，我们设数列 a1,a2 ,...,a4m 2 的公差为d ，则 d 0 . 由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差 ... ...
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