专题 18 圆锥曲线综合 命题解读 考向 考查统计 椭圆的标准方程 2024·新高考ⅰ卷，16（1） 双曲线中的双斜率 2022·新高考ⅰ卷，21（1） 抛物线的轨迹方程 2023·新高考ⅰ卷，22（1） 2022·新高考ⅱ卷，21（1） 1.高考对圆锥曲线综合的考查，重点是 双曲线的标准方程 2023·新高考ⅱ卷，21（1） 直线与圆锥曲线关系中的求弦长、面积 椭圆中的弦长公式、三角形面积 2024·新高考ⅰ卷，16（2） 及弦中点、定点、定值、参数取值范围 双曲线与数列的综合知识 2024·新高考ⅱ卷，19 和最值等问题。 双曲线中的弦长公式、三角形面积 2022·新高考ⅰ卷，21（2） 抛物线中的弦长公式 2023·新高考ⅰ卷，22（2） 双曲线中的斜率问题 2022·新高考ⅱ卷，21（2） 双曲线中的定直线问题 2023·新高考ⅱ卷，21（2） 命题分析 2024 年高考新高考ⅰ卷考查了椭圆的标准方程、弦长公式，注重的是基础公式和计算能力，难度适中。 ⅱ卷考查了直线与双曲线、数列知识的交汇，综合能力要求较高，难度较难。但是每问的设计是环环相扣的， 可以从第一问的设问中找到第二问的求解思路。圆锥曲线综合是高考数学的核心内容，是考查考生学科素 养的重要载体。每年高考卷的必考题，一般是两小一大，是以课程学习情境与探索创新情境为主，注重数 学知识的基础性、综合性和应用性的考查，侧重考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力。预计 2025 年高 考还是主要考查圆锥曲线中的弦长、三角形（四边形）面积、定值定点问题。 试题精讲 一、解答题 2 2 1．（2024 新高考ⅰ卷·16）已知 a(0,3) 和p 3, 3 2 ÷ 为椭圆c : x y2 2 =1(a > b > 0)上两点.è a b (1)求 c 的离心率; (2)若过 p 的直线 l交 c 于另一点 b，且vabp的面积为 9，求 l的方程． 1 【答案】(1) 2 (2)直线 l的方程为3x - 2y - 6 = 0或 x - 2y = 0 . 【分析】（1）代入两点得到关于 a,b的方程，解出即可； （2）方法一：以 ap 为底，求出三角形的高，即点 b 到直线 ap 的距离，再利用平行线距离公式得到平移 后的直线方程，联立椭圆方程得到 b 点坐标，则得到直线 l的方程；方法二：同法一得到点 b 到直线 ap 的 距离，再设 b x0 , y0 ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点 b 到 直线 ap 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线 ab 斜率不存在的情况，再设直线 y = kx 3，联立椭圆方程，得到点 b 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线 pb斜率不 存在的情况，再设 pb : y 3 - = k(x - 3)，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法 2 1 与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘 2 表达面积即可. ì b = 3 29 ì b = 9 【详解】（1）由题意得 í ，解得 í ， 9 4 =1 a 2 =12 a2 b2 b2e 1 1 9 1所以 = - 2 = - = .a 12 2 3 3- 1 （2）法一： k 1= 2 = - ，则直线 ap 的方程为 y = - x 3，即 x 2y - 6 = 0，ap 0 - 3 2 2 3 2 3 5 x2 y2ap = 0 - 3 2 3 - ÷ = ，由（1）知c : =1， è 2 2 12 9 d 2 9 12 5= = 设点 b 到直线 ap 的距离为d ，则 3 5 5 ， 2 12 5 则将直线 ap 沿着与 ap 垂直的方向平移 单位即可， 5 此时该平行线与椭圆的交点即为点 b ， 设该平行线的方程为： x 2y c = 0 ， c 6 12 5 则 = ，解得c = 6或c = -18， 5 5 ì x2 y2 x = 0 ì x = -3 =1 ì 当c = 6 时，联立 í 12 9 ，解得 í 或 í 3 ， x 2y 6 = 0 y = -3 y = - 2 b 0, 3 3, 3- - - 即 或 ÷， è 2 当 b 0, -3 3 3时，此时 kl = ，直线 l的方程为 y = x - 3，即3x - 2y - 6 = 0，2 2 b 当 -3, 3 - 1 1÷时，此时 kl = ，直线 l的方程为 y = x，即 x - 2y = 0，è 2 2 2 ì x2 y2 =1 当c = -18时，联立 ... ...
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